Kategóriaelmélet

A továbbiakban szükségünk lesz arra, hogy össze tudjuk hasonlítani az egyes kategóriákat.
Ha felírkálunk pár természetesen előforduló kategóriát azt tapasztalhatjuk, hogy sok esetben előfordul, hogy egy C kategóriából megkapható valami D kategória úgy, hogy bizonyos (esetleg végtelen sok) C-beli objektumot és morfizmust azonosítunk. Egy olyan fogalom kell, amely segítségével ki lehet fejezni ezt a kapcsolatot C és D között.

Legyenek C és D kategóriák. Egy

funktor alatt egy leképezést értünk, mely C morfizmusait D morfizmusaiba képezi. További feltétel még, hogy F a C-beli identitásmorfizmusokat D-beli identitásmorfizmusba vigyen, valamint, hogy kompatibilis legyen a morfizmuskompozícióval. Azaz, precízen leírva a következőeket követeljük meg:

minden A C-beli objektumra:

és

minden

C-beli morfizmusokra:

Itt azt a D-beli objektumot jelöli, amelyre igaz, hogy F az A feletti identitásmorfizmust az F(A) objektum feletti identitásmorfizmusba viszi.

Például a következő sorban definiált leképezés egy funktor
Részletesebben, legyen egy morfizmus Set-ben, azaz egy leképezcsés az A, B halmazok között. Mivel minden leképezés reláció is f egy morfizmus Rel-ben. Következésképpen F megőrzi az identitásmorfizmusokat és kompatibilis a morfizmuskompozícióval. Tehát F egy funktor.

Egy újabb példa. Vegyük azt az leképezést, melyre igaz, hogy minden identitásmorfizmust helyben hagy. Tehát ha n egy nemnegatív egész, akkor Továbbá, ha morfizmus Reg-Δ-ban, akkor F(f) legyen az egyetlen n->k morfizmus Z-ben. Kész. Ez is egy funktor! ..... vagy mégsem ?  

Ugyanis Z-ben csak akkor van morfizmus n->k -ba, ha n =< k. És nyilván létezik nxk dimenziós mátrix még akkor is, ha n =< k. Tehát van olyan morfizmus Reg-Δ-ban, amelynek nincs képe Z-ben. Hiszen korábban azt írtam: ha f: n-> k morfizmus Reg-Δ-ban, akkor F(f) legyen az egyetlen n->k morfizmus.

Itt is megmutatkozik, hogy nem minden mondatnak van értelme. A kutatás egyik kulcsfontosságú lépése az, hogy minden pillanatban megkérdőjelezzem azt amit éppen leírtam vagy kigondoltam. Mi a jelentése az egyes szavaknak? Biztos, hogy van értelme? Mi van a szélsőséges esetekkel?